Cuando faltaban dos fechas para que culmine las Clasificatorias de la Conmebol rumbo al Mundial Rusia 2018 me atreví a formular la teoría de la probabilidad para pronosticar que equipos llegarían al Mundial. Como resultado obtuve que Brasil, Uruguay, Argentina, Colombia y Perú clasificaban, siendo este último quien jugaba el repechaje. Te invito a leer el análisis dado donde juntos aprendemos el concepto de la teoría de la probabilidad. Un resumen del artículo con algunos datos extras lo puedes hallar en el siguiente video:

Las Clasificatorias están llegando a la recta final. Faltan dos fechas y la cantera de hinchas no deja de ver la tabla una y otra vez. Le quedan dos partidos a cada equipo. Son 10. ¿Cuántos resultados pueden surgir? Parece que son pocos, ¿lo serán? Cada equipo puede ganar, empatar o perder. ¡Tres estados! Lo que es mejor, vienen en pares, si un equipo gana el otro está destinado a perder y si uno empata el otro está destinado a empatar. Suena interesante: El estado de un equipo automáticamente condiciona el estado del otro. ¡No! Esto no es el entrelazamiento cuántico. No te confundas. Estamos en el mundo clásico, si deseas sumergirte al mundo cuántico te invito a leer el artículo: "El entrelazamiento cuántico y el fin de la ciberseguridad". Ahora solo daremos nociones básicas de probabilidad.

Si en un fecha hay cinco partidos y los resultados de cada uno pueden ser 3 (ganar, perder o empatar), ¿cuántas combinaciones habrán? La respuesta es 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243. Es decir, en la penúltima fecha hay 243 formas en las que puede quedar la tabla de posiciones. ¡Wow…! Eso no es todo, en la última fecha será igual. Entonces, ¿cuántas combinaciones hay en total? La respuesta es 243 x 243 = 59049. Sí, lo sé, el número es gigantesco y eso que no hemos considerado el número de goles. El objetivo es reducir este número para poder estudiarlo y así determinar quienes serán los cinco clasificados (en este artículo, cada vez que hablemos de un equipo clasificado estamos incluyendo el puesto de repechaje). Veamos los partidos a jugar:

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Bolivia	vs	Brasil
Venezuela	vs	Uruguay
Chile	vs	Ecuador
Colombia	vs	Paraguay
Argentina	vs	Perú

Tabla I: Dos últimas fechas de las Clasificatorias.

Ecuador	vs	Argentina
Uruguay	vs	Bolivia
Paraguay	vs	Venezuela
Brasil	vs	Chile
Perú	vs	Colombia

Prestemos atención al partido Bolivia vs Brasil dado en la Tabla I. ¿El resultado alterará la tabla de posiciones? Veamos:

Tabla II: Tabla de posiciones antes de las dos últimas fechas.

Posición	País	Ptos	GF	GC	DG
1		37	38	11	27
2		27	28	18	10
3		26	19	16	3
4		24	26	25	1
5		24	16	15	1
6		23	24	23	1
7		21	17	23	-6
8		20	24	24	0
9		13	14	34	-20
10		8	18	35	-17

¡Claro que no! Como puedes apreciar en la Tabla II, Brasil va primero y Bolivia casi último. Podemos decir entonces que así Bolivia golee 5-0 la tabla de posiciones no cambiará. Por consiguiente, la penúltima fecha solo cuenta con 4 partidos importantes. Siguiendo los cálculos hechos inicialmente procedemos:

¡Wow…! Ya no son 59049 casos sino 19683. Vamos por buen camino. ¿Qué más podemos hacer? Veamos los partidos de Uruguay. Juega contra Venezuela en Caracas y contra Bolivia en Montevideo. Además, su diferencia de goles es la más alta (excluyendo a Brasil). Basta que gane uno de esos dos partidos para estar en el Mundial. Inclusive, basta que empate uno para clasificar. Es asequible, demasiado fácil. Por tanto, vamos a asumir sin miedo a equivocarnos que Uruguay ya está clasificado y sus rivales, Bolivia y Venezuela, así ganen, no modificarán la tabla de posiciones. Por tanto, en la penúltima fecha solo hay 3 partidos trascendentales y en la última solo 4. Tenemos:

¡Wow…! Ya no son 19683 casos sino 2187. Entre los partidos que quedan hay uno que marca un antes y un después en el desenlace de las Clasificatorias. Es el partido de Colombia vs Paraguay. Si consideramos que todo puede pasar en ese partido tendríamos que analizar 2187 casos porque Colombia, yendo tercero, podría quedar fuera del Mundial. Para simplificar el análisis y así facilitar el aprendizaje de la teoría de la probabilidad vamos a considerar que Colombia gana en Barranquilla, entonces elimina a Paraguay y queda clasificado. Siendo este el caso, ¿cuántos partidos quedan por analizar? Al Colombia ganar, el partido de Paraguay frente a Venezuela en la última fecha es irrelevante, por tanto, solo tenemos dos partidos trascendentales en la penúltima fecha y tres en la última. Esto nos da:

¡Así es! Teniendo a Colombia como vencedor nos quedan 243 combinaciones. De todas ellas solo una representará el final de las Clasificatorias. En este análisis tenemos tres clasificados: Brasil, Uruguay y Colombia. Los aspirantes a los dos cupos que faltan son Ecuador, Chile, Argentina y Perú. Debes tener presente que este no es un análisis completo porque estamos obviando la posible victoria de Paraguay o un posible empate frente a Colombia. Estos casos los discutimos más adelante, por ahora enfoquémonos en comprender el concepto de la teoría de la probabilidad... Teniendo a Ecuador, Chile, Argentina y Perú como únicos candidatos, entonces debemos enfocarnos en sus partidos, los cuales son:

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Chile	vs	Ecuador
Argentina	vs	Perú

Tabla III: Los partidos más importantes

Ecuador	vs	Argentina
Brasil	vs	Chile
Perú	vs	Colombia

Como ves en la Tabla III, solo importan 5 partidos, es decir, 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 posibilidades. Vamos a hacer uso de la teoría de la probabilidad para saber que equipos son favoritos “matemáticamente”. Aquí no estamos hablando de favoritos porque en las últimas Clasificatorias siempre ganaron, o porque están ahora en un buen puesto en el ranking FIFA, o porque juegan de local y sus chances son altas. ¡No! Aquí formularemos un análisis sencillo basado en matemáticas, por ende, las conclusiones van más allá de lo que la intuición o la creencia puedan dictaminar. Precisamente así nació la teoría de la probabilidad. En sus inicios se creía que el azar estaba determinado por un ser superior, que si uno lanzaba los dados y salía un seis era porque estaba destinado a salir ese número. Con los años, las matemáticas fueron superando a las creencias, hombres como Cardano, Galileo, Pascal y Fermat colocaron los primeros cimientos de la teoría de la probabilidad, que en forma sencilla indica que las chances de que suceda un evento de un total de N casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias n de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles, es decir, n/N. Veamos algunos ejemplos sencillos con las Clasificatorias.

¿Cuál es la probabilidad que Argentina le gane a Perú y al mismo tiempo Chile le gane a Ecuador?

P() ∩ P() = 1/3 x 1/3 = 1/9 = 11.1%.

Como un equipo solo puede ganar, perder o empatar, entonces la probabilidad de ganar es 1 de 3. Y como los partidos de Argentina y Chile son resultados independientes, la probabilidad total viene dada por su multiplicación, 1 de 9. Este número además nos indica que hay nueve formas en las que Argentina vs Perú y Chile vs Ecuador pueden agruparse. Los cuales son:

Cada sub-grupo (o conjunto) está etiquetado con las letras de la A a la I. Todos juntos representan los posibles resultados de la penúltima fecha. GP indica que el ganador es el equipo local y el perdedor el visitante, EE indica que ambos empatan y PG indica que el perdedor es el equipo local y el ganador el visitante.

2 juegos independientes siempre dará como probabilidad 1 de 9. Ahora, ¿en la última fecha qué puede ocurrir? Si tenemos 3 partidos, entonces habrán 3 x 3 x 3 = 27 posibles consecuencias para cada sub-grupo de la A a la I, dando un total de 27 x 9 = 243 combinaciones. Todas estas combinaciones aparecen detalladas en la información suplementaria.

¿Cuál es la probabilidad de obtener A y luego que Perú le gane a Colombia?

P(A) ∩ P() = 1/9 x 9/27 = 9/243 = 3.7%.

Como existen 9 sub-grupos, la probabilidad de obtener A es 1 de 9. Y como en cada uno de estos sub-grupos existen 27 posibles consecuencias en la última fecha, entonces basta analizar en cuántas de ellas Perú le gana a Colombia para obtener la segunda probabilidad. Resulta que es en 9, por tanto, tenemos 9 de 27, dando como probabilidad total 9 de 243. A continuación te presento las conclusiones más importantes que arroja la teoría de la probabilidad:

Para concluir con este estudio basado en la teoría de la probabilidad, respondemos las siguientes interrogantes:

1. ¿Cuál es el puntaje de repechaje más probable?

Para esto emplearemos el diagrama del árbol. Existen 9 sub-grupos (de la A a la I) y en cada uno tenemos las siguientes probabilidades para los puntajes de repechaje (ver Tablas A.3, B.3, C.3, D.3, E.3, F.3, G.3, H.3 e I.3 en la información suplementaria):

En la Fig. 1., e.g., P(29) indica la probabilidad de obtener 29 puntos en el puesto de repechaje.

Esto se conoce como una probabilidad condicionada porque queremos hallar un valor condicionándolo a que salga por una de las ramas del árbol. Su resultado viene dado por la probabilidad de obtener A multiplicado por la probabilidad de obtener 29 puntos en A. Se suele denotar P(A ∩ 29). Entonces, la probabilidad de obtener 29 puntos a través de todas las ramas vendría a ser la suma de ellas, i.e., P(29) = P(A ∩ 29) + P(B ∩ 29) + P(C ∩ 29) + P(D ∩ 29) + P(E ∩ 29) + P(F ∩ 29) + P(G ∩ 29) + P(H ∩ 29) + P(I ∩ 29). Haciendo esto para todos los valores obtenemos:

Por ende, lo más probable es que el 5to puesto en las Clasificatorias obtenga 26 o 27 puntos, i.e., P(26) = 75/243 = 30.9% y P(27) = 85/243 = 35%. Este resultado es interesante porque nos permite definir el mínimo puntaje que deberían alcanzar los equipos para asegurar su clasificación. Por ejemplo, antes de jugarse las dos últimas fechas del certamen Uruguay ya tiene 27 puntos con una diferencia de goles de +10 y dijimos que le basta hacer un punto más para asegurar sus clasificación. Si esto ocurre Uruguay llegaría a 28 puntos con la mejor diferencia de goles. Por consiguiente, vemos que  su probabilidad de quedar eliminado es de P(29) = 6/243 = 2.5%. Lo curioso es que para que esto ocurra Chile debe ganarle a Brasil. Por tanto, sacar un punto en dos partidos no debería causar ninguna preocupación a los uruguayos.

Nota posterior: El 5to puesto, al culminar el certamen, obtuvo 26 puntos.

2. ¿Qué ocurre si Colombia empata con Paraguay? ¿Y qué pasa si pierde?

Como hemos apreciado en la pregunta previa, el puntaje de repechaje oscila entre 24 y 29 puntos, lo que demuestra que Colombia ganando a Paraguay está clasificado. En caso empate haría 27 puntos (perdiendo con Perú en la última fecha) y Paraguay llegaría a 25 (ganándole a Venezuela en la última fecha). Dentro de todas las combinaciones mostradas en la información suplementaria, el puntaje más alto del “mejor eliminado” es de 28 puntos, pero solo ocurre una vez entre las 243 posibilidades. Se da cuando Argentina y Perú empatan en la penúltima fecha  y todos ganan (menos Ecuador) en la última fecha, ver Tabla D.1. En este caso, Chile hace 29 puntos y Argentina y Perú 28 puntos, con lo cual Colombia quedaría eliminado, pero este evento tiene una probabilidad de 1/243 = 0.4%, es decir, un valor tan bajo que es plausible asumir que es muy difícil que llegue a ocurrir. En este punto del análisis tú podrías refutarlo aduciendo que los 243 eventos que estamos considerando están asociados únicamente al caso en que Colombia vence a Paraguay y no tiene sentido considerarlos para el caso en que empatan. Esto es cierto; no obstante, si hacemos el mismo análisis para el caso de un empate, llegaremos a resultados similares a aquellos dados en la información suplementaria, salvo que ahora agregaremos a los equipos de Colombia y Paraguay en la tabla de posiciones, por ende, los 243 eventos ya descritos nos brindan una idea aproximada de la probabilidad de clasificación de Colombia y Paraguay. A todo esto, si no se cumple el hecho que Chile haga 29 puntos y Argentina y Perú 28 puntos, entonces ¿Colombia clasificaría con 27 puntos? No necesariamente, porque existen 20 combinaciones de las 243 posibles en las cuales el mejor eliminado obtiene 27 puntos, es decir, los mismos puntos que Colombia. Por tanto, la clasificación dependerá de la diferencia de goles y para suerte de los parceros ellos llegan bien en ese aspecto al tener una cifra superior a la de sus rivales. Consecuentemente, la probabilidad de clasificación de Colombia es muy alta así pierda con Perú y empate con Paraguay.

Paraguay por su parte, empatando con Colombia y ganando a Venezuela llegaría a 25 puntos como máximo, con estos podría luchar por la clasificación. No obstante, recordemos que Paraguay tiene una diferencia de goles de -6, ver Tabla II. Para reducir esa diferencia y tener valores similares a la de sus rivales, Paraguay está obligado a golear 7-0 a Venezuela. Algo difícil de imaginar. Por eso, Paraguay más que luchar por un puesto de repechaje con 25 puntos, debería buscar la clasificación directa, es decir, ver en cuántos casos el cupo de repechaje se alcanza con 24 puntos para así poder superarlo con sus 25 puntos dables, i.e.,las chances de Paraguay se reducen a P(24) = 10/243 = 4%. Una probabilidad tan baja que es mejor aceptar la realidad de decirle adiós al Mundial. Por lo expuesto, un empate entre Colombia y Paraguay no afecta en gran medida los resultados mostrados en este artículo.

¿Y qué pasa si Colombia pierde frente a Paraguay? En este caso, antes de jugarse la última fecha, Paraguay acumula 24 puntos y Colombia se queda en 26. En forma similar, debido a que Paraguay tiene una diferencia de goles de -6, debería enfocarse en clasificar directamente. Si se queda en 24 puntos, quedaría eliminado porque no existe P(23). Si hace 25 puntos, es decir, si empata su último partido frente a Venezuela, la conclusión sería idéntica al caso previo, i.e., sus chances son del 4%. Finalmente, ganando su último partido llegaría a 27 puntos, con lo cual incrementa su probabilidad a P(26)+P(25)+P(24) = 55%. Nuevamente, cabe resaltar que estos resultados son aproximados porque estamos estudiando 243 casos de un total de 2187. Lo curioso es que podemos inferir que Paraguay, aún ganando sus dos últimos partidos, a lo mucho se acerca al 50% en su probabilidad de clasificación. Por el contrario, Colombia, quedándose en 26 puntos, debido a un muy buena diferencia de goles, también obtiene la misma probabilidad, i.e., P(26)+P(25)+P(24) = 55%. Como notarás, Colombia tiene mejores chances que Paraguay aún perdiendo sus dos partidos. Por ende, es factible pensar que los resultados presentados aquí, son suficientes para inferir que Colombia tiene mayores chances de clasificación aún perdiendo frente a Paraguay.

Nota posterior: Paraguay le ganó a Colombia. Esto no afectó los resultados presentados aquí donde Colombia clasifica y Paraguay se elimina.

3. ¿Quiénes serán los 5 clasificados?

Las matemáticas indican que Argentina, Chile y Perú son los candidatos a pelear los cupos que faltan. ¿Quién llevará sus cánticos al Mundial? ¿Cantará Chile, “prepárate Rusia que aquí vamos por más”? O Perú gritará, “porque yo creo en ti, ¡vamos vamos Perú!” O será Argentina quien dirá, “esta barra quilombera no te deja de alentar”. La probabilidad total que tiene cada equipo de clasificar (antes de jugarse las dos últimas fechas) es:

Tabla V: Probabilidad de clasificar entre los 5 primeros

Con la mejor diferencia de goles	Con la peor diferencia de goles
P() = 190/243 = 78.2% P() = 184/243 = 75.7% P() = 144/243 = 59.3% P() = 29/243 = 11.9%	P() = 153/243 = 62.9% P() = 151/243 = 62.1% P() = 100/243 = 41.2% P() = 17/243 = 6.9%

Los resultados dados en la Tabla V fueron obtenidos mediante un análisis similar al diagrama del árbol desarrollado previamente, para esto usamos los datos de las Tablas A.2, B.2, C.2, D.2, E.2, F.2, G.2, H.2, I.2 en la información suplementaria. Lo interesante es que a pesar que Argentina y Perú tienen el mismo puntaje antes de jugar sus partidos, al culminarlos, la probabilidad de clasificación de Perú es mayor. Esto se explica porque Argentina juega con rivales directos en ambas fechas, mientras que Perú en la última fecha lo hace con un equipo “ya clasificado”. Otro detalle interesante es ver cómo afecta tener la mejor diferencia de goles. Chile resulta ser el más beneficiado, incrementando su probabilidad de clasificación en 18.1 puntos porcentuales solo por meter más goles. En contraste, Perú y Argentina incrementan su probabilidad de clasificación en 15.3 y 13.6 puntos porcentuales, respectivamente. Por tanto, para hacer uso de esta ventaja, los chilenos deberían enfocarse en golear a Ecuador en casa y evitar una masacre frente a Brasil. De todas formas Chile tiene la probabilidad más baja de clasificación (excluyendo a Ecuador), y eso que estamos incluyendo el caso en que le pueda ganar a Brasil. Si consideramos que estos resultados son determinantes, podemos concluir que los 5 equipos clasificados serán: Brasil, Uruguay, Colombia, Perú y Argentina. La pregunta pendiente sería ¿qué equipo clasifica directamente al Mundial? ¿Perú o Argentina? Realizando un análisis similar al anterior tenemos:

Tabla VI: Probabilidad de clasificar entre los 4 primeros

La mejor diferencia de goles	La peor diferencia de goles
P() = 121/243 =  49.8% P() = 121/243 =  49.8%	P() = 83/243 = 34.2% P() = 81/243 = 33.3%

Argentina obtiene una probabilidad ligeramente superior de clasificar directamente al Mundial. La razón es la misma que el caso anterior, ie., Argentina se enfrenta a rivales directo, y toma relevancia en el sub-grupo F, ver información suplementaria. Si esta ligera ventaja fuese un factor determinante, Perú terminaría enfrentando a Nueva Zelanda por el repechaje. Los dirigidos por Gareca se subirían al avión y harían el viaje más bizarro de sus vidas. Cruzarían el Pacífico en un viaje que el reloj desde Santiago les diría que son 12 pero tardarían 27 horas en llegar y la vuelta desde Auckland la harían con el tiempo transcurriendo con valores negativos, pero eso no importaría… porque España 82′ finalmente podría quedar atrás.

Nota posterior: Perú jugó el repechaje y los clasificados directos al Mundial fueron Brasil, Uruguay, Argentina y Colombia.