II. Metodología: el método de los mínimos cuadrados
Las ecuaciones diferenciales dadas en la introducción se resuelven de la siguiente forma. Para $m_d$ tenemos,
$$\begin{align} 0 &=\frac{\partial \xi}{\partial m_{d}}, \\ 0 &= \frac{\partial}{\partial m_{d}} \left( \sum_i^n (m_{d} x_i + b_{d} - y_i)^2 \right), \\ 0 &=\sum_i^n 2 (m_{d} x_i + b_{d} - y_i) \times x_i, \\ 0 &= m_d\sum_i^n x_i^2 + b_d\sum_i^n x_i - \sum_i^n y_i x_i. \tag{4} \end{align}$$
Similarmente, para $b_d$ tenemos,
$$\begin{align} 0&=\frac{\partial \xi}{\partial b_{d}}, \\ 0 &= \frac{\partial}{\partial b_{d}} \left( \sum_i^n (m_{d} x_i + b_{d} – y_i)^2 \right), \\ 0&=\sum_i^n 2 (m_{d} x_i + b_{d} – y_i), \\ 0&= m_d \sum_i^n x_i + b_{d} n – \sum_i^n y_i, \\ b_{d} &=\frac{ \sum_i^n y_i – m_d \sum_i^n x_i}{n}, \\ b_{d} \sum_i^n x_i &=\frac{ \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i – m_d (\sum_i^n x_i)^2}{n}. \tag{5} \end{align}$$
Reemplazando (5) en (4) obtenemos,
$$\begin{align} 0&= m_d\sum_i^n x_i^2 + b_d\sum_i^n x_i – \sum_i^n y_i x_i, \\ 0&= m_d\sum_i^n x_i^2 + \frac{ \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i – m_d (\sum_i^n x_i)^2}{n} – \sum_i^n y_i x_i, \\ 0 &= m_d n\sum_i^n x_i^2 + \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i – m_d (\sum_i^n x_i)^2 – n \sum_i^n y_i x_i, \\ 0 &= m_d [n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2] + \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i – n \sum_i^n y_i x_i, \\ m_d &= \frac{n \sum_i^n y_i x_i – \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}. \tag 6 \end{align} $$
La ecuación (6) nos otorga el valor de $m_d$. Para obtener $b_d$, reemplazamos (6) en (5),
$$\begin{align}
b_{d} &=\frac{ \sum_i^n y_i – m_d \sum_i^n x_i}{n}, \\
b_{d} n &=\sum_i^n y_i – \frac{n \sum_i^n y_i x_i – \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2} \sum_i^n x_i, \\
b_{d} n &=\sum_i^n y_i – \frac{n \sum_i^n y_i x_i \sum_i^n x_i – \sum_i^n y_i (\sum_i^n x_i)^2}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2},\\
b_{d} n &=\frac{\sum_i^n y_i (n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2) – (n \sum_i^n y_i x_i \sum_i^n x_i – \sum_i^n y_i (\sum_i^n x_i)^2)}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2},\\
b_{d} n &=\frac{n\sum_i^n y_i\sum_i^n x_i^2 – n \sum_i^n y_i x_i \sum_i^n x_i }{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2},\\
b_{d} &=\frac{\sum_i^n y_i\sum_i^n x_i^2 – \sum_i^n y_i x_i \sum_i^n x_i }{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}. \tag 7
\end{align}$$
Consecuentemente, la ecuación de la recta lee,
$$\begin{align}
y_{d} &= m_d x + b_d,\\
&=\frac{n \sum_i^n y_i x_i – \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2} x + \frac{\sum_i^n y_i\sum_i^n x_i^2 – \sum_i^n y_i x_i \sum_i^n x_i }{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}. \tag 8
\end{align}$$
En nuestro caso, para obtener los valores numéricos de $m_d$ y $b_d$, hacemos uso de los datos dados en la Tabla I, ver la página 2. La resolución aparece descrita en la siguiente página.
