Un resumen de este artículo con algunos datos extras aparece en el siguiente video:

En el artículo: "La extrapolación lineal para predecir el futuro de Despacito", publicado el 11 de julio del 2017, haciendo uso de la extrapolación lineal predijimos que Despacito alcanzaría 3 mil millones de vistas en Youtube a inicios de agosto. Oficialmente lo hizo el 4 de agosto del 2017. Su recorrido fue el siguiente:

En este artículo responderemos la interrogante: ¿Cuando alcanzará 4 mil millones de vistas y 5 mil millones de vistas? La respuesta, una vez más, se encuentra en las matemáticas...

Desde que apareció en el mes de enero del año 2017, Despacito empezó a crecer a 6 millones de vistas por día, pasando luego a 16 millones en el mes mayo y llegando a 21 millones en el mes de julio. ¿Qué ocurrirá en los próximos meses? Pronosticamos que para enero 2018, Despacito decaerá a 3 millones de vistas por día porque ese ha sido el valor estable de muchas canciones icónicas. Aquí algunos ejemplos:

¿Cómo podríamos determinar el momento en que Despacito alcanza una cifra específica? Para ello usaremos el cálculo integral, el cual fue desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII. Probablemente en aquel tiempo, estos genios tuvieron que afrontar una interrogante similar y fue así que desarrollaron este método infinitesimal, por eso remontémonos en el tiempo e imaginemos lo que ellos hubiesen hecho. Para empezar, Newton se hubiese encerrado en su habitación, era una persona tímida y prefería la soledad. Luego, habría trazado en un papel una gráfica similar a la siguiente:

En ella habría mostrado que en 6 meses (de agosto 2017 a enero 2018) Despacito caería linealmente de 21 millones a 3 millones de vistas por día (ver línea azul en la Fig. 1), alcanzando un valor estable y constante a partir de febrero 2018. ¿Por qué habría hecho esto? Porque una tendencia lineal es el método más sencillo que existe para empezar un análisis de predicción. No obstante, aún trazando una recta, calcular la fecha en que alcanza 4 mil millones de vistas parece una tarea compleja.

Para hacerlo sencillo, Newton y Leibniz idearon un truco, el cual consistió en trazar los rectángulos dados en la Fig. 1. De esta forma ahora asumiremos que en agosto, Despacito tendrá un valor constante de 18 millones de vistas por día, en setiembre de 15 millones, en octubre de 12 millones, en noviembre de 9, en diciembre de 6 y en enero de 3. Con esto, considerando que los meses tienen 30 ó 31 días, se puede generar la siguiente tabla:

En la Tabla III estamos considerando 26 días en el mes de agosto. Ten presente que oficialmente el 5 de agosto, Despacito alcanzó 3000 millones de vistas en total; por tanto, es conveniente empezar nuestros cálculos a partir del 6 de agosto, dando así un total de 26 días en dicho mes. Como puedes apreciar, Despacito acumula 918 millones de vistas en los dos primeros meses (agosto + setiembre), con lo cual solo necesitaría 82 millones más para alcanzar la cifra de 4 mil millones de vistas en total. Unos cálculos sencillos nos revelan que acumularía esta cantidad el 7 de octubre del 2017 porque 12 x 7 = 84 millones. Adicionalmente, observamos que desde agosto hasta enero 2018, Despacito acumula 1839 millones, es decir, un total de 4839 millones de vistas desde enero 2017, con lo cual le faltaría apenas 161 millones para llegar a la cifra de 5 mil millones de vistas en total. Asumiendo que después de enero mantiene un valor estable de 3 millones de vistas por día, se puede decir que en febrero 2018 acumula 3 x 28 = 84 millones, con lo cual le fataría 161 - 84 = 77 millones para llegar a 5 mil millones de vistas en total, es decir, el 26 de marzo lograría el objetivo porque 3 x 26 = 78. Estos resultados aparecen resumidos a continuación:

Las fechas dadas en la Tabla IV no corresponden a una solución de la recta azul sino a la aproximación dada por los rectángulos mensuales. Lo curioso es que el área de cada rectángulo mostrado en la Fig. 1 representa el número total de vistas en cada mes, e.g., para enero, el ancho del rectángulo es 31 (días) y el largo es 3 (número de vistas por día), por tanto, el número total de vistas en dicho mes es 31 x 3, tal como aparece en la Tabla III. !Dios mío! –diría Newton, quien era un ferviente cristiano y se jalaría de los pelos en su pequeño cuarto en Woolsthorpe. Leibniz haría lo mismo sentado en París.

Ambos estaban fascinados con el concepto de lo infinitesimal, al punto que se vieron inmersos en debates filosóficos sobre la existencia de las mónadas. Debido a esto, en algún momento se cuestionaron, ¿qué pasaría si en vez de dibujar rectángulos mensuales, ahora los dibujo aún más delgados, infinitesimalmente tan delgados que describirían exactamente el área bajo la curva (la línea azul en nuestro caso)? Este pensamiento tan simple traería una conclusión maravillosa: "El área bajo la curva, sin importar que tan complicada sea esta curva, nos daría el número total de vistas".

Para visualizar este pensamiento consideremos la Fig. 2, donde mostramos la evolución del número de vistas de Despacito desde enero hasta agosto del 2017. Como podemos observar, el comportamiento real no es lineal, pero Newton y Leibniz nos mostraron que para encontrar el número total de vistas bastaba hallar el área bajo la curva, en este caso el área bajo la línea verde. Trazando rectángulos delgados en el mes de marzo (tal como se aprecia en la Fig. 2) y sumando sus áreas podemos obtener aproximadamente el número total de vistas en dicho mes. El valor es inexacto, pero si consideramos rectángulos infinitesimalmente delgados nos acercaremos al valor real. Esta conclusión permitió desarrollar el cálculo integral, que en palabras sencillas significa: "Para hallar el área total bajo la curva basta sumar el área de rectángulos infinitesimalmente delgados". Para esto es necesario conocer la ecuación de nuestra curva. En la Fig. 1 es una recta, cuya ecuación general fue mencionada en el artículo: "La extrapolación lineal para predecir el futuro de Despacito". En la Fig. 2 la ecuación es más compleja pero no imposible de obtener. En este caso nos centraremos en la Fig. 1, cuya ecuación de la recta viene dada por la función: $$f(t) = 21 - \frac{18}{178}t,$$ donde $t$ representa el tiempo expresado en días, e.g., para $t=0$, es decir, el 6 de agosto del 2017, obtenemos 21 (millones). Para $t=178$, es decir, el 31 de enero del 2018, obtenemos 3 (millones). La función nos permitirá obtener el valor del largo de cada rectángulo y el ancho vendrá dado por un valor infinitesimalmente pequeño. Por tanto, de esta forma podemos hallar el área de cada rectángulo y solo bastará sumarlos. Matemáticamente, dicha suma infinitesimal se expresa de la siguiente forma:

El símbolo en forma de una S elongada, i.e., $\int$, nos dice que sumaremos rectángulos infinitesimalmente delgados partiendo en el día $0$ y culminando en el día $d$, fecha para la cual acumularemos $C$ millones de vistas. Si queremos saber la fecha para la cual Despacito alcanza 4000 millones de vistas en total, entonces consideramos $C=1000$, y para el caso de 5000 millones de vistas en total, consideramos $C=2000$. Esto se debe a que el día $0$ empieza el 6 de agosto, fecha para la cual Despacito ya tenía 3000 millones de vistas en total.  A modo de ejemplo, resolvamos el primer caso, i.e.:

$$\begin{align} \int_0^d \left( 21 - \frac{18}{178}t \right) &= 1000, \\ 21 d - \frac{18}{356}d^2 &= 1000,  \\ d &= 54.87. \end{align}$$

El resultado nos dice que 54.87 días después al 6 de agosto del 2017, Despacito alcanzará 4000 millones de vistas. En formal similar, obtenemos que 147.92 días después, Despacito tocará los 5000 millones de vistas. Por tanto, los resultados finales son:

Como era de esperarse, los resultados de la Tabla IV y V son distintos. El primero es una aproximación basada en rectángulos mensuales, el segundo, hace uso del cálculo integral. No obstante, que el primero sea un cálculo más sencillo no implica que los resultados dados en la Tabla V sean más confiables. A decir verdad, ambos presentan un margen de error porque partimos de un decaimiento lineal  y como ya vimos en la Fig. 2, el comportamiento en realidad es caótico. Entonces, la conclusión final podría darse como una combinación de los dos resultados obtenidos, es decir, "supera los 4 mil millones en octubre y supera los 5 mil millones entre enero y abril". Como notarás, hemos extendido el segundo pronóstico hasta abril porque cuanto más lejos estén los datos a pronosticar, el error necesariamente aumentará. ¿Podrá alguna canción superar este récord? Difícilmente en el corto tiempo, claro que la gran ventaja que tienen las nuevas canciones es que la conexión global a internet está aumentando; sin embargo, si la población mundial disminuye por cualquier motivo, pasarán muchísimos años hasta que alguna canción lo llegue a destronar.