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El método de los mínimos cuadrados con Despacito

stats con chris
2022-03-27
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II. Metodología: las ecuaciones de las rectas

Definimos las ecuaciones de las rectas de Despacito ($d$) y See You Again ($s$) como,

$$ \begin{align} y_{d} &= m_d x + b_d, \tag 9 \\ z_{s} &= m_s x + b_s. \tag{10} \end{align} $$

Considerando las expresiones analíticas obtenidas previamente tenemos,

$$\begin{align} m_d &= \frac{n \sum_i^n y_i x_i – \sum_i^n y_i \sum_i^n x_i}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}, \tag{11} \\ b_{d} &=\frac{\sum_i^n y_i\sum_i^n x_i^2 – \sum_i^n y_i x_i \sum_i^n x_i }{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}. \tag{12} \end{align}$$

$$\begin{align} m_s &= \frac{n \sum_i^n z_i x_i – \sum_i^n z_i \sum_i^n x_i}{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}, \tag{13}\\ b_{s} &=\frac{\sum_i^n z_i\sum_i^n x_i^2 – \sum_i^n z_i x_i \sum_i^n x_i }{n\sum_i^n x_i^2 – (\sum_i^n x_i)^2}. \tag{14} \end{align}$$

Para determinar los valores numéricos de $m$ y $b$ hacemos uso de los datos dados en la Tabla I, ver la página 2. De esta forma generamos las siguientes tablas:

Tabla II: Datos de Despacito.
Día ($x$)	Despacito ($y$)	$\lower 0.8em {y_i x_i}$	$x_i^2$
4	2310	9240	16
5	2328	11640	25
6	2348	14088	36
7	2369	16583	49
8	2393	19144	64
9	2415	21735	81
$\sum_i^6 x_i = 39$	$\sum_i^6 y_i =14163$	$\sum_i^6 y_i x_i =92430$	$\sum_i^6 x_i^2 = 271$

Tabla III: Datos de See You Again.
Día ($x$)	See You Again ($z$)	$\lower 0.8em {z_ix_i}$	$x_i^2$
4	2872.8	11491.2	16
5	2875.9	14379.5	25
6	2879.0	17274.0	36
7	2882.2	20175.4	49
8	2885.7	23085.6	64
9	2889.0	26001.0	81
$\sum_i^6 x_i = 39$	$\sum_i^6 z_i =17284.6$	$\sum_i^6 z_i x_i =112406.7$	$\sum_i^6 x_i^2 = 271$

Para Despacito, reemplazamos los datos dados en la Tabla II en (11) y (12). Para See You Again, reemplazamos los datos dados en la Tabla III en (13) y (14). Por tanto,

$$\begin{align} m_d &= \frac{6 \times 92430 – 14163\times 39}{6\times 271 – (39)^2} = 21.2, \tag{15} \\ b_{d} &=\frac{14163 \times 271 – 92430\times 39 }{6\times 271 – (39)^2} = 2222.9. \tag{16} \end{align}$$

$$\begin{align} m_s &= \frac{6 \times 112406.7 – 17284.6\times 39}{6\times 271 – (39)^2} = 3.2, \tag{17} \\ b_{s} &=\frac{17284.6 \times 271 – 112406.7\times 39 }{6\times 271 – (39)^2} = 2859.7. \tag{18} \end{align} $$

Finalmente, la ecuaciones de la rectas vienen dadas por,

$$\begin{align} y_d &= 21.2 x + 2222.9, \tag{19} \\ z_s &= 3.2 x + 2859.7. \tag{20} \end{align}$$

El punto donde estas rectas se cruzan determina el momento en que Despacito supera a See You Again y se convierte en el video más visto en Youtube. La resolución de este problema aparece descrito en la siguiente página.

Vistas: 1 Github