Los modelos matemáticos permiten pronosticar o describir eventos usando las matemáticas. Existen muchas formas en las que podemos formular un modelo. Aquí indagaremos en uno sencillo pero de gran relevancia en el mundo del fútbol, el FIFA ranking, el cual nos permite determinar que equipos son lo más poderosos del momento. Fue desarrollado en 1992 y a partir de ahí sufrió ciertas modificaciones. El primer modelo tuvo validez de 1992 a 1998, el segundo modelo lo hizo de 1999 al 2006, el tercer modelo desde mediados del 2006 hasta el inicio del Mundial Rusia 2018 y el cuarto modelo existe después de dicho Mundial. Aquí vamos a analizar el tercer modelo y basándonos en él vamos a pronosticar los 12 mejores equipos justo antes de iniciarse el Mundial. Para esto consideraremos los datos dados por el ranking publicado el 15 de marzo del 2018. Y a partir de él, pronosticaremos el ranking liberado el 07 de junio del 2018. El artículo se publicó el 04 de abril del 2018... Un resumen del mismo con algunos datos extras aparece en el siguiente video:

El último ranking (R) publicado antes del 04 de abril del 2018 fue el siguiente:

Tabla I: FIFA ranking. Mar. 15, 2018.

Ranking	País	Puntaje
1	Alemania	1609
2	Brasil	1489
3	Portugal	1360
4	Argentina	1359
5	Bélgica	1337
6	Polonia	1228
6	España	1228
8	Suiza	1197
9	Francia	1185
10	Chile	1161
11	Perú	1128
12	Dinamarca	1108

En él las selecciones de Perú y Dinamarca están excluidas de los 10 primeros lugares. ¿Qué pasará después? Eso lo vamos a descubrir acá. Para entender cómo funciona el modelo nos enfocaremos en Perú y veremos cómo llegó a obtener 1128 puntos. Su trayectoria fue la siguiente en los últimos 4 años:

Como puedes apreciar en la Tabla II, hemos separado los últimos 4 años en 4 periodos a partir del 15 de marzo del 2018, que es la fecha donde queremos hallar el ranking. El primer periodo considera  los partidos de la selección peruana que se jugaron entre el  15 de marzo del 2017 y el 15 de marzo del 2018. El segundo periodo va del 15 de marzo del 2016 al 15 de marzo del 2017. El tercer periodo va del 15 de marzo del 2015 al 15 de marzo del 2016. Y el cuarto periodo abarca del 15 de marzo del 2014 al 15 de marzo del 2015. Como puedes ver, la cantidad de partidos en cada periodo no es igual, por ejemplo, en la Tabla II.4 vemos que la primera fecha a considerar es el 30 de mayo del 2014, y esto debido a que fue el primer partido que jugó Perú desde el 15 de marzo del mismo año. En la tercera columna de la Tabla II, G significa que Perú ganó, E significa que empató y P que perdió el encuentro. En la cuarta columna está el puntaje acumulado por partido, fácilmente puedes ver que cada vez que Perú perdió un encuentro obtuvo cero puntos, pero ¿cómo se obtienen los otros puntos? Para hallar el puntaje $(\mathscr{P})$ de cada partido usamos la siguiente fórmula:

donde M = 3, 1, o 0 dependiendo si ganó, empató, o perdió. I = 1, 2.5, 3.5, o 4.0, dependiendo de la importancia del partido, 1 equivale a un partido amistoso, 2.5 a un partido de Clasificatorias al Mundial, 3.5 a una Copa Continental, e.g., Copa América o la Copa de Confederaciones y 4.0 a la Copa Mundial. T = (200 - #), donde # representa la posición del equipo rival en el último FIFA ranking disponible antes de ese encuentro. Cabe mencionar que el mínimo valor posible de T es 50, es decir, si el valor de la resta, 200 - #, es inferior a 50 se redondea a ese número. Además, cuando un equipo se enfrenta al primer puesto en el ranking FIFA, T = 200, es decir # = 0. Finalmente C representa el valor de la Confederación. C = 1.0, 0.99, o 0.85, dependiendo si el equipo es de la Conmebol, la UEFA, o los otros, respectivamente. Este valor varía después de cada Mundial, los valores dados son válidos hasta el Mundial de Rusia 2018. En caso de encuentros entre equipos de distintas Confederaciones, C adopta el valor de la media aritmética.
Tomemos como ejemplo el partido de Perú frente a Nueva Zelanda el 17 de noviembre del 2017, el puntaje en este caso viene dado por:

Así es como se obtienen los puntajes que aparecen en la Tabla II. Como puedes observar, curiosamente el partido contra Haití el 4 de junio del 2016 otorgó a Perú 1048.95 puntos mientras que el partido frente a Paraguay el 18 de noviembre del 2014 apenas le dio 372 puntos. Esto ocurre porque el partido contra Haití fue parte de una Copa América, mientras que el partido contra Paraguay fue un amistoso. Este hecho puede mostrar ciertas falencias en el FIFA ranking pero uno debe recordar que es un modelo matemático y no una verdad absoluta que nos dirá realmente quien es mejor que quien.

Para obtener el puntaje de Perú (1128 puntos) debemos hallar la media aritmética de cada periodo dado en la Tabla II, e.g., si en el primer periodo hay 10 partidos, entonces sumamos los puntajes de dichos partidos y lo dividimos por 10, En este caso obtenemos:

Finalmente el puntaje final $(\mathscr{P}_f)$ viene dado por:

Es así como Perú acumuló 1128 puntos hasta el 15 de marzo del 2018. Como puedes apreciar, el puntaje final considera únicamente los últimos 48 meses separados en 4 periodos. El primer periodo, o el periodo más próximo, tiene mayor relevancia y es por eso que en la fórmula usamos el factor 1.0 como multiplicación. El segundo periodo tiene un factor de 0.5, el tercero de 0.3 y el cuarto periodo, siendo el de menor relevancia, tiene el factor de 0.2 como multiplicación. Para el caso de Perú, observando la Tabla III, podemos concluir que ha tenido unos muy buenos últimos años acumulando en promedio más de 600 puntos en ellos. Esto nos permite vislumbrar que el futuro es promisorio para la selección peruana que prontamente borrará de los cálculos la pésima campaña que hizo en el año 2014 donde apenas sumó 203.82 puntos.

Ahora pasaremos a pronosticar el puntaje de Perú en el FIFA ranking del 07 de junio del 2018, que viene a ser el último antes del Mundial. Mostramos a continuación los partidos a tener en consideración:

Como puedes notar en la Tabla IV, los periodos se han corrido unas posiciones porque ahora, por ejemplo, los 12 últimos meses van del 07 de junio del 2017 al 07 de junio del 2018. Procedemos ahora a obtener los puntajes promedios de cada periodo:

Y haciendo uso de los promedios dados en la Tabla V obtenemos el puntaje final $(\mathscr{P}_f)$:

Según nuestros cálculos, 1125 será el puntaje de Perú antes de iniciar el Mundial ya que el próximo ranking es el 19 de julio, justo después de culminado el certamen. Y como mencioné al inicio, después del Mundial un nuevo modelo matemático será empleado, este otro modelo lo discutiremos en un artículo posterior. Comparando las Tablas II.1 y IV.1, vemos que en este último Perú tiene 4 nuevos partidos.  Las victorias frente a Croacia e Islandia se pueden calcular con exactitud porque los resultados ocurrieron antes de escribirse este artículo. Los triunfos frente a Escocia y Arabia Saudita son estimacions hechas por mi, es por eso que existe un margen de error de ± 1 asociado al hecho que desconozco las posiciones exactas de estos equipos en el ranking FIFA. Recordemos que esta información es importante para calcular el valor de T en la fórmula del modelo. Claro está, si Perú no gana sus partidos, entonces su puntaje será menor. Aquí estamos simplificando el análisis asumiendo que Perú gana sus últimos partidos.

La pregunta pendiente es: "Con ese puntaje, ¿en qué posición estará Perú?" Para saberlo tenemos que hacer el mismo análisis con los demás equipos. Esto no será detallado en este artículo porque sería demasiado extenso y engorroso. Aquí te mostramos el resultado final:

Tabla VI: Pronóstico del FIFA ranking. Jun. 07, 2018.

RRanking	País	Puntaje (Suiza vence a España)	Puntaje (Suiza y España empatan)	Puntaje (España vence a Suiza)
1	Alemania	1593±1	1593±1	1593±1
2	Brasil	1433±1	1433±1	1433±1
3	Portugal / Bélgica	1323±1	1323±1	1323±1
4	Portugal / Bélgica	1286±1	1286±1	1286±1
5	Argentina	1239±1	1239±1	1239±1
6	Polonia / Suiza	1237±1	1199±1	1182±1
7	Polonia / Suiza	1182±1	1182±1	1179±1
8	Francia	1168±30	1168±30	1168±30
9	Chile	1165±1	1165±1	1165±1
10	España / Perú	1125±1	1125±1	1160±1
11	España / Perú	1108±1	1125±1	1125±1
12	Dinamarca	1060±30	1060±30	1060±30

Como aprecias en la Tabla VI, Perú alcanza la décima posición solamente si Suiza vence a España. Si este resultado no se da, Perú quedaría en la onceava posición. Por ende, el partido más interesante para la selección peruana será el encuentro España vs Suiza. Muchos de los puntajes dados a los equipos en la Tabla VI, tienen un margen de error de ± 1, la razón es similar a lo ya discutido con Perú, es decir, estamos asumiendo resultados concretos en los partidos, pero asignamos un mínimo error porque desconocemos el valor exacto de T. No obstante, Francia y Dinamarca presentan un caso particular, para ellos estamos considerando un error de ± 30 y esto se debe a que ambos equipos tienen partidos dificiles de determinar. Por ejemplo, Francia se enfrenta a Irlanda y a Italia. Si gana los dos encuentros, su puntaje bordearía los 1168 + 30 puntos. Y si empata, se acercaría a 1168 - 30. Como puedes apreciar, estoy descartando el caso en que Francia pierde sus partidos porque es uno de los equipos europeos más sólidos de la temporada. Para determinar si nuestro análisis fue el correcto bastará comparar la Tabla VI con el resultado oficial de la FIFA dado el 07 de junio del 2018... ¿Se cumplirá?

Nota posterior: El resultado oficial fue el siguiente:

Tabla VII: FIFA ranking. Jun. 07, 2018.

Ranking	País	Puntaje
1	Alemania	1558
2	Brasil	1431
3	Bélgica	1298
4	Portugal	1274
5	Argentina	1241
6	Suiza	1199
6	Francia	1198
8	Polonia	1183
9	Chile	1135
10	España	1126
11	Perú	1125
12	Dinamarca	1051

España empató con Suiza, por tanto, comparando los resultados de la Tabla VII con aquellos dados en la Tabla VI para el caso del empate, podemos apreciar que acertamos correctamente con los puestos dados y los puntajes resultaron ser similares.